Đáp án Toán rời rạc mã đề 321-2022

 

TRƯỜNG ĐH NGUYỄN TẤT THÀNH

 

MÃ ĐỀ THI: 321

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN

Học kỳ : 2                   Năm học: 2021-2022

Môn thi: Toán rời rạc  Thời gian làm bài: 90 phút

Câu 1 (3 điểm):

Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 20 thỏa điều kiện

a. {{x}_{1}}\ge 3;{{x}_{2}}>0;{{x}_{3}}\ge 2;{{x}_{4}}>-2

b. 1 \le x_1 \le 5; x_2 \ge 1; x_3 \ge -2; x_4 \ge 0

Câu 2 (3 điểm): Trên tập hợp S = \{-2, -1, 1, 2, 3, 4, 5 \}

Ta xét quan hệ hai ngôi \Re như sau: \forall x,y\in S,x \Re y\Leftrightarrow x+3y chẵn.

a. Chứng minh \Re là quan hệ tương đương trên S.

b. Xác định các lớp tương đương [1], [2], [4].

Câu 3. (4 điểm )  Cho hàm Bool 4 biến xác định bởi F(x,y,z,t)=z\bar{t} \vee x\bar{y}\bar{z} \vee \bar{x}yt \vee \bar{x} \bar{y}\bar{z} \vee yz\bar{t} \vee \bar{y}\bar{t}

a. Hãy vẽ biểu đồ Karnaugh của và xác định các tế bào lớn.

b. Tìm công thức đa thức tối tiểu của hàm .

c. Vẽ sơ đồ mạch các cổng logic của hàm tương ứng với công thức đa thức tối tiểu tìm được trong câu b.

— Hết —

LỜI GIẢI

Câu 1

a. Từ điều kiện: {{x}_{1}}\ge 3;{{x}_{2}}>0;{{x}_{3}}\ge 2;{{x}_{4}}>-2, ta có:

{{x}_{1}}\ge 3\Rightarrow {{y}_{1}}={{x}_{1}}-3

{{x}_{2}}\ge 1\Rightarrow {{y}_{2}}={{x}_{2}}-1 

{{x}_{3}}\ge 2\Rightarrow {{y}_{3}}={{x}_{3}}-2

{{x}_{4}}\ge -1\Rightarrow {{y}_{4}}={{x}_{4}}+1

{{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}},{{y}_{4}}\ge 0

{{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}}+{{y}_{4}}=20-3-1-2+1=15

(Áp dụng công thức Tổ hợp lặp K_{n}^{k}=C_{n+k-1}^{k}, với k = 15, n = 4)

K_{4}^{15}=C_{15+4-1}^{15}=C_{18}^{15}=816

 

b. TH1: x_{1} \geq 1, x_{2} \geq 1 ; x_{3} \geq-2 ; x_{4} \geq 0 ta có:
x_{1} \geq 1 \Rightarrow y_{1}=x_{1}-1
x_{2} \geq 1 \Rightarrow y_{2}=x_{2}-1
x_{3} \geq-2 \Rightarrow y_{3}=x_{3}+2
x_{4} \geq 0 \Rightarrow y_{4}=x_{4}
y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}=20-1-1+2-0=20

{{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}},{{y}_{4}}\ge 0

(Áp dụng công thức Tổ hợp lặp K_{n}^{k}=C_{n+k-1}^{k}, với k = 20, n = 4)
K_{4}^{20}=C_{20+4-1}^{20}=C_{23}^{20}=1771

TH2: x_{1} \geq 6, x_{2} \geq 1 ; x_{3} \geq-2 ; x_{4} \geq 0 ta có:
x_{1} \geq 6 \Rightarrow y_{1}=x_{1}-6
x_{2} \geq 1 \Rightarrow y_{2}=x_{2}-1
x_{3} \geq-2 \Rightarrow y_{3}=x_{3}+2
x_{4} \geq 0 \Rightarrow y_{4}=x_{4}
y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}=20-6-1+2-0=15

{{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}},{{y}_{4}}\ge 0

(Áp dụng công thức Tổ hợp lặp K_{n}^{k}=C_{n+k-1}^{k}, với k = 15, n = 4)
K_{4}^{15}=C_{15+4-1}^{15}=C_{18}^{15}=816

Vậy số nghiệm nguyên không âm của phương trình là 1771-816=955

Câu 2

a.

+ Tính phản xạ: \forall x \in S, x+3 x=4 x chẵn \Rightarrow x \Re x
+ Tính đối xứng: \forall x, y \in S, x \Re y \Rightarrow(x+3 y) chẵn, chứng minh (y+3 x) chẵn. Thật vậy:
y+3 x=(x+3y)+(2x-2y) (vì (x+3 y)(2x-2y) chẵn.

\Rightarrow y+3 x chẵn \Rightarrow y \Re x
+ Tính bắc cầu: \forall x, y, z \in S, x \Re y \wedge y \Re z
\Rightarrow x+3 y chẳn và y+3 z chẳn

\Rightarrow x+3 z=(x+3 y)+(y+3 z)-4 y chẵn \Rightarrow x+3 z chẵn \Rightarrow x \Re z

b.

Theo đề bài ta có x \Re y\Leftrightarrow x+3y chẵn

\overline{1}=[1]=\{y \in S \mid y \Re 1\} \Leftrightarrow y+3.1 chẵn. Suy ra trong tập S= \{-2, -1, 1, 2, 3, 4, 5 \}, y nhận các giá trị \{-1,1,3,5\}.

  • Vậy: \overline{1}=[1]=\{y \in S \mid y \Re 1\}=\{-1,1,3,5\}

Tương tự: \overline{2}=[2]=\{y \in S \mid y \Re 2\}= \Leftrightarrow y+3.2 chẵn. Suy ra trong tập S, y nhận các giá trị \{-2,2,4\}.

  • Vậy: \overline{2}=[2]=\{y \in S \mid y \Re 2\}=\{-2,2,4\}

\overline{4}=[4]=\{y \in S \mid y \Re 4\}= \Leftrightarrow y+3.4 chẵn. Suy ra trong tập S, y nhận các giá trị \{-2,2,4\}.

  • Vậy: \overline{4}=[4]=\{y \in S \mid y \Re 4\}=\{-2,2,4\}

 

Câu 3

Có 6 tế bào lớn: Tế bào 1: z \bar{t}Tế bào 2: \overline{y t}Tế bào 3: \overline{y z}Tế bào 4: \bar{x} y zTế bào 5: \bar{x} y tTế bào 6: \bar{x} \bar{z} t

Công thức đa thức tối tiểu của \mathrm{F}F=z \bar{t} \vee \bar{y} \bar{z} \vee \bar{x} y t
Vẽ được sơ đồ mạch logic từ hàm Bool

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *