Giải bài tập Toán cao cấp A1

DẠNG 1: Mô hình Leontief Input- Output

Bài 1.  (Đề ôn tập năm 2022)

Giả sử 1 nền kinh tế của 1 quốc gia nhỏ gồm 2 ngành: công nghiệp khai thác mỏ (Mining industry, viết tắt là M) và ngành công nghiệp đánh bắt cá (Fishing industry, viết tắt là F) với ma trận hệ số đầu vào là

    \begin{align*} & \quad \quad \begin{matrix} \ \ M & F \\ \end{matrix}\\  & A=\left( \begin{matrix} 0.25 & 0.05 \\ 0.05 & 0.4 \\ \end{matrix} \right)\begin{matrix} M \\ F \\ \end{matrix} \\  \end{align*}

Quốc gia mong muốn có lượng thặng dư là 147 đơn vị của sản lượng ngành khai thác mỏ và 26 đơn vị của sản lượng ngành đánh bắt cá. Gọi x_1, x_2 lần lượt là tổng sản lượng khai thác mỏ và ngành đánh bắt cá. Tìm x_1, x_2

Giải:

Đặt x_1, x_2 lần lượt là tổng sản lượng khai thác mỏ và ngành đánh bắt cá.

Ta có

I_2-A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}0.25 & 0.05 \\ 0.05 & 0.4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0.75 & -0.05 \\ -0.05 & 0.6\end{array}\right),

X=\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) và D=\left(\begin{array}{l}147 \\ 26\end{array}\right).
Ta giải phương trình \left(I_2-A\right) X=D tìm X
Ta có nghiệm X=\left(I_2-A\right)^{-1} D.
Với \left(I_2-A\right)^{-1}=\frac{1}{179}\left(\begin{array}{cc}240 & 20 \\ 20 & 300\end{array}\right).
Khi đó X=\frac{1}{179}\left(\begin{array}{cc}240 & 20 \\ 20 & 300\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}147 \\ 26\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}200 \\ 60\end{array}\right).
Vậy tổng sản lượng khai thác mỏ là x=200 và của ngành đánh bắt cá là y=60

 

Bài 2: (Đề ôn tập năm 2022)

Giả sử 1 nền kinh tế gồm 3 ngành: đánh bắt cá (Fishing, viết tắt là F), ngành nông nghiệp (Agriculture, viết tắt là A) và ngành dầu mỏ (Mining, viết tắt M) với ma trận hệ số đầu vào là

       

    \begin{align*} & \quad \quad \begin{matrix} \ \ F & A & M \\ \end{matrix}\\  & A=\left( \begin{matrix} 0.5 & 0.1 & 0.1 \\ 0.3 & 0.5 & 0.2 \\ 0.1 & 0.3 & 0.4 \\ \end{matrix} \right)\begin{matrix} F \\ A \\ M \\ \end{matrix} \\  \end{align*}

                                  

Ta mong muốn có lượng thặng dư là 110 đơn vị sản lượng ngành đánh bắt cá, 50 đơn vị sản lượng ngành nông nghiệp và 50 đơn vị sản lượng ngành khai thác mỏ. Gọi x_1, x_2, x_3 lần lượt là tổng sản lượng ngành đánh bắt cá, ngành nông nghiệp và ngành khai thác mỏ. Tìm x_1, x_2, x_3

Giải:

Phương trình công nghệ của nền kinh tế là \left(I_3-A\right) X=D, với X=\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)

    \[ \text { Hay }\left(\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc} 0.5 & 0.1 & 0.1 \\ 0.3 & 0.5 & 0.2 \\ 0.1 & 0.3 & 0.4 \end{array}\right)\right) X=\left(\begin{array}{c} 110 \\ 50 \\ 50 \end{array}\right)\]

Do đó nghiệm X

    \[ X=\left(\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc} 0.5 & 0.1 & 0.1 \\ 0.3 & 0.5 & 0.2 \\ 0.1 & 0.3 & 0.4 \end{array}\right)\right)^{-1}\left(\begin{array}{c} 110 \\ 50 \\ 50 \end{array}\right)\]

Vậy tổng sản lượng cần thiết của các ngành là

X=\left(\begin{array}{l}400 \\ 500 \\ 400\end{array}\right)

 

DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG

Phương pháp tìm giá trị riêng – Vector riêng:

Tìm TR-VTR của ma trận vuông
Bước 1) Lập phương trình đặc trưng \operatorname{det}(A-\lambda I)=0.
Bước 2) Giải phương trình đặc trưng tìm trị riêng.
Bước 3) Với mỗi TR \lambda_i, giải hệ \left(A-\lambda_i I\right) x=0 :
Tìm VTR ứng với TR \lambda_i.

 

Bài 1. Tìm các giá trị riêng \lambda và vector riêng của ma trận A=\left(\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 1 & 4\end{array}\right).
A. \lambda=1 \vee \lambda=6
B. \lambda=\mathbf{2} \vee \lambda=\mathbf{3}
C. \lambda=-1
D. \lambda=-1 \vee \lambda=6

Bài làm
Phương trình đặc trưng \operatorname{det}(A-\lambda I_2)=0 \Longleftrightarrow\left|\begin{array}{cc}1-\lambda & -2 \\ 1 & 4-\lambda\end{array}\right|=0 \Longleftrightarrow(1-\lambda)(4-\lambda)+1.2=0 \Longleftrightarrow \lambda^2-5 \lambda+6=0 \Longleftrightarrow\left[\begin{array}{l}\lambda_1=2  \\ \lambda_2=3 \end{array}\right..

\lambda_1=2, giải hệ \left(A-\lambda_1 I\right) x=0

    \[ \Longleftrightarrow\left[\begin{array}{cc|c} 1-2 & -2 & 0 \\ 1 & 4-2 & 0 \end{array}\right] \Longleftrightarrow\left[\begin{array}{ll|l} -1 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\right]\Longleftrightarrow\left[\begin{array}{ll|l} -1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]\]

Ta có hệ phương trình: x_1+2x_2 = 0, chọn x_2 = \alpha \Rightarrow x_1 = -2\alpha

Vậy vector riêng ứng với giá trị riêng \lambda_1=2 là:

x=\left(\begin{array}{c}-2 \alpha \\ \alpha\end{array}\right), \alpha \in R - \{0\}.

\lambda_2=3, giải hệ \left(A-\lambda_2 I\right) x=0

    \[ \Longleftrightarrow\left[\begin{array}{ll|l} 1-3 & -2 & 0 \\ 1 & 4-3 & 0 \end{array}\right] \Longleftrightarrow\left[\begin{array}{ll|l} -2 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right]\Longleftrightarrow\left[\begin{array}{ll|l} -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \]

Ta có hệ phương trình: x_1+x_2 = 0, chọn x_2 = \alpha \Rightarrow x_1 = -\alpha

Vậy vector riêng ứng với giá trị riêng \lambda_2=3 là:

x=\left(\begin{array}{c}- \alpha \\ \alpha\end{array}\right), \alpha \in R -\{0\}.

 

Câu 19: (Đề ôn tập năm 2022) 

Tìm các giá trị riêng \lambda của ma trận A=\left(\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 1 & 4\end{array}\right).
A. \lambda=1 \vee \lambda=6
B. \lambda=\mathbf{2} \vee \lambda=\mathbf{3}
C. \lambda=-1
D. \lambda=-1 \vee \lambda=6

Bài làm
Phương trình đặc trưng \operatorname{det}(A-\lambda I_2)=0 \Longleftrightarrow\left|\begin{array}{cc}1-\lambda & -2 \\ 1 & 4-\lambda\end{array}\right|=0 \Longleftrightarrow(1-\lambda)(4-\lambda)+1.2=0 \Longleftrightarrow \lambda^2-5 \lambda+6=0 \Longleftrightarrow\left[\begin{array}{l}\lambda_1=2  \\ \lambda_2=3 \end{array}\right..

Câu 20: (Đề ôn tập năm 2022) Tìm các véc-tơ giá trị riêng ứng với trị riêng \lambda=6 của ma trận

    \[ A=\left[\begin{array}{ll} \mathbf{0} & \mathbf{1} \\ \mathbf{6} & 5 \end{array}\right]\]

A. u=(6 \alpha, \alpha) với \alpha \in \mathbb{R} \backslash\{0\}
B. u=(6 \alpha, \alpha) với \alpha \in \mathbb{R}
C. u=(\alpha, \mathbf{6} \alpha) với \alpha \in \mathbb{R} \backslash\{\mathbf{0}\}
D. u=(\alpha, 6 \alpha) với \alpha \in \mathbb{R}

Bài làm
Phương trình đặc trưng \operatorname{det}(A-\lambda I_2)=0

\Longleftrightarrow\left|\begin{array}{cc} 0-\lambda & 1 \\ 6 & 5-\lambda \end{array}\right|=0 \Longleftrightarrow(-\lambda)(5-\lambda)-1.6=0

\Longleftrightarrow \lambda^2-5 \lambda-6=0 \Longleftrightarrow\left[\begin{array}{l}\lambda_1=-1  \\ \lambda_2=6 \end{array}\right..

\lambda_2=6, giải hệ \left(A-\lambda_2 I\right) x=0

    \[ \Longleftrightarrow\left[\begin{array}{ll|l} 0-6 & 1 & 0 \\ 6 & 5-6 & 0 \end{array}\right] \Longleftrightarrow\left[\begin{array}{ll|l} -6 & 1 & 0 \\ 6 & -1 & 0 \end{array}\right]\Longleftrightarrow\left[\begin{array}{ll|l} -6 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \]

Ta có hệ phương trình: 6x_1-x_2 = 0, chọn x_1 = \alpha \Rightarrow x_2 = 6\alpha

Vậy vector riêng ứng với giá trị riêng \lambda_2=6 là:

x=\left(\begin{array}{c}\alpha \\ 6\alpha\end{array}\right), \alpha \in \mathbb{R} \backslash \{0\}.

 

 

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *